Заглавие
  Страница 1 В конец страницы   Картинки   Страницы:   Главная (0)   1   2   

Содержание страницы:

  Уравнение Клейна-Гордона-Фока

В квантовой механике и теории поля для описания движения различных частиц используются волновые функции, которые с математической точки зрения могут иметь различную природу. Это могут быть скалярные функции, векторные, спинорные и т.д. Можно считать, что такая традиция родилась вместе с первым "матричным" вариантом КМ, найденным методом проб и ошибок. Позже убеждение физиков в неизбежности многокомпонентных ВФ укрепилось в связи с необходимостью описания движения частиц с дробным спином. Сначала было уравнение Паули с 2-компонентными спинорами, потом его сменило релятивистское уравнение Дирака с 4-компонентной (биспинорной) ВФ. Как правило, различной математической природе волновых функций соответствуют формально различные дифференциальные уравнения, так что получается, что частицы с различными физическими свойствами должны описываться различными уравнениями. Однако из общих соображений ясно, что материальный мир един и, следовательно, где-то должно существовать единое теоретическое описание для всего его "населения". В настоящее время такое "объединение" достигается на уровне лагранжиана -- специальной комбинации (как правило, квадратичной) из волновых функций, из которой с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа могут выделяться уравнения для частиц отдельного сорта. Лагранжиан представляет собой производную по времени от такой важной для физики величины, как действие, и является скаляром, поэтому входящие в него "блоки" содержат только скалярные комбинации волновых функций. Чтобы отражать наблюдаемые на практике закономерности, этим блокам придаются специальные симметрии, как правило, с применением теории групп. В целом получается довольно громоздкая картина. А нельзя ли проще?

Как провозглашается в постулатах КТПД, поля движения всех без исключения частиц микромира могут выражаться скалярными функциями. Это существенный шаг навстречу единому описанию. Теперь нет "математической" необходимости в различных уравнениях, потенциально все может быть сведено к некоторому одному уравнению. Если только не возникнет разногласий с опытом, т.е. если не будет "физической" необходимости делать уравнения разными.

Но каким должно быть это универсальное уравнение динамики полей движения? Чтобы составить о нем представление, необходимо обратиться к боровскому принципу соответствия, а также учесть принцип относительности СТО (специальной теории относительности). Напомним, что принцип соответствия, положенный Н.Бором в основу построения квантовой механики, устанавливает соответствие уравнений классической и квантовой теорий. Чтобы составить уравнение для квантовомеханической задачи, необходимо сначала составить его для аналогичной задачи в классическом случае (для материальных тел), а затем произвести над ним формальные изменения -- заменить классические физические величины квантовомеханическими операторами и подставить волновую функцию. Что касается релятивистского принципа относительности, то он позволяет нам расширить область описания явлений от одних только дебройлевских волн до полей движения и в собственных системах отсчета, относительно которых частицы покоятся. Как известно, принцип относительности утверждает, что при одинаковых условиях физические процессы в любых инерциальных системах отсчета развиваются одинаковым образом. С формальной точки зрения это означает, что описывающие их уравнения должны выглядеть одинаково с точностью до обозначений. Таким образом, если в ИСО, относительно которой частица движется (лабораторной ИСО), ее волновая функция удовлетворяет некоторому волновому уравнению, то и в собственной системе отсчета должна существовать волновая функция, удовлетворяющая похожему волновому уравнению. В традиционной квантовой теории такой подход сопряжен с проблемой отсутствия волны де Бройля у покоящегося объекта, но в КТПД ее не возникает, как только мы переходим к плотностям динамических переменных и к новой концепции наблюдаемых, определяемой через интегралы от этих плотностей.

Очевидно, что классическое уравнение, которое должно быть положено в основу искомого универсального квантового уравнения, должно иметь предельно высокую степень общности. Оно должно быть справедливым для любой частицы или системы. И такое соотношение есть в специальной теории относительности. Это так называемое уравнение массовой поверхности

Формула 3 (3)

связывающее воедино энергию, импульс и массу любого материального объекта (слева приведен "обычный" 3-мерный вид, справа -- ковариантный 4-мерный). Универсальнее ничего не придумаешь! Чтобы по принципу соответствия перейти к квантовому выражению, необходимо, как отмечалось выше, физические величины заменить их квантовомеханическими операторами и вписать после них волновую функцию. Получим

Формула 4 (4)

Подставляя явный вид операторов

Формула 5 (5)

придем к так называемому уравнению Клейна-Гордона-Фока (КГФ)

Формула 6 (6)

Это и есть почти то уравнение, которое будет описывать динамику полей движения. Поскольку классическое соотношение (3) справедливо для всего материального, а при выводе квантового варианта мы не пользовались какими-либо действиями, ограничивающими общность, приходим к выводу, что уравнение (6) также должно быть универсальным. Оно должно описывать любые поля движения.

В современной квантовой теории уравнению КГФ отводится незаслуженно скромная роль представлять поля со спином 0. Несмотря на то, что П.Дирак использовал его в качестве источника для вывода релятивистского уравнения для электрона (фермиона со спином 1/2), сообщество не заподозрило в нем никаких скрытых возможностей. Тогда не знали, что описания такой внутренней степени свободы как спин можно добиться вводом дополнительного скалярного множителя-функции в общую ВФ. А в КТПД это один из основных приемов: всякой независимой степени свободы может быть сопоставлено парциальное поле движения, которое согласно Постулату V входит в общую волновую функцию в виде произведения. Операторы уравнения действуют поочередно на все поля-сомножители и результаты этого действия трансформируют уравнение. Оно получается таким, что учитывает, в том числе, и данную степень свободы.

  Единое уравнение динамики полей движения

Выше мы назвали уравнение КГФ "почти" тем уравнением, которое должно описывать любые поля движения. Такая оговорка связана с тем, что оно немного не доведено до степени универсальности, необходимой единому уравнению. Согласно основной идее теории полей движения, все наблюдаемые величины являются следствием того или иного движения. Не должна быть исключением и масса. Надо лишь догадаться, какому полю движения она должна соответствовать. А что касается искомого уравнения, то принцип относительности подсказывает, что его основным структурным элементом должен оставаться квадрат оператора импульса (или, что практически то же самое, оператор д'Аламбера μμ ), т.к. он есть в обычном уравнении КГФ, сформулированном для лабораторной ИСО. Тип уравнения ведь не должен изменяться при переходе между движущейся равномерно и прямолинейно и покоящейся системами отсчета. Тем более, что оператор д'Аламбера является релятивистски инвариантным, т.е. не меняет вида при любых переходах между инерциальными системами отсчета. А сама идея перекладывания ответственности за массу на поле движения сводится к тому, что уравнение можно попытаться переформулировать в виде

Формула 7 (7)

где в общем поле движения Ψ должно содержаться специальное парциальное поле Φ:

Ψ = ψΦ,

"производящее" массовый член. Искомое поле движения Φ должно быть самосогласованным, не требующим для своего существования посторонних движений. Оно не должно создавать "лишних" наблюдаемых, не имеющих непосредственного отношения к массе. И, разумеется, его поиск надо начинать с самых простых вариантов. Здесь нам помогает то обстоятельство, что в микромире не так уж много различных типов простых самосогласованных движений. Их всего два -- колебания и вращения. Вращения в данном случае не подходят, т.к. создают лишнюю наблюдаемую -- момент импульса. Остается поле колебаний. Простейший случай колебаний, не создающих наблюдаемых потоков импульса -- радиальные (сферически симметричные) пульсации. Поле движения с такой геометрией первым проверялось в качестве "массообразующего".

Одним из самых важных для теории свойств полевых функций является их квадратичная интегрируемость. Она состоит в том, что интеграл

Формула 7' (7')

является конечным, т.е. сходится. Одни волновые функции (и, соответственно, поля движения) могут быть квадратично интегрируемыми, другие -- нет. Квадратичная интегрируемость поля движения позволяет с той или иной степенью точности, характерной для квантовой теории, говорить о локализации частицы, которую поле движения Ψ описывает. Нетрудно придти к выводу, что квадратичная интегрируемость является обязательным требованием для полей движения, обладающих массой. Массивные поля локализуемы, поля с нулевой массой нелокализуемы в принципе.

Таким образом, чтобы выйти на массу, следует начинать искать квадратично интегрируемые поля радиальных колебаний среди решений уравнения (7). Такая простая с виду задача оказалась неожиданно трудной. Сами по себе решения находились без особых проблем, но среди них не было квадратично интегрируемых! Так, в сферических координатах после разделения переменных можно придти к уравнению

Формула 8 (8)

В данном поле можно выделить радиальное поле движения, которое зависит только от r и выражается через функции Бесселя J ν, Yν и степенную функцию. Оно убывает при стремлении r к бесконечности, но скорость этого убывания недостаточна для квадратичной интегрируемости.

Переломить ситуацию способен Постулат IV о комплексных плотностях динамических переменных. С ним исходное уравнение динамики записывается как

Формула 9 (9)

где звездочкой в кружке обозначено комплексное сопряжение, не задевающее мнимую единицу i в определении операторов энергии и импульса. В теории наряду с эрмитовыми появляются и неэрмитовы операторы. Если допустить существование полей с мнимой плотностью импульса, то, в частности, вместо уравнения (8) может быть получено уравнение

Формула 10 (10)

Легко видеть, что оно, по сути, является уравнением на собственные значения для оператора Лапласа, причем собственное значение равно Таким образом, поле движения u(r), входящее в Φ, является собственной функцией, несущей ответственность за массу m. Массы полей движения формируются благодаря входящим в их состав парциальным полям радиальных колебаний! Таково объяснение "происхождения" массы в КТПД. Как мы знаем, в Стандартной модели масса объясняется спонтанным нарушением симметрии лагранжиана U(1)xSU(2)xSU(3) вследствие взаимодействия с полем Хиггса.

Уравнение для радиального поля u(r), содержащегося в Φ из (10), в сферических координатах имеет три квадратично интегрируемых решения, которые с точностью до постоянных множителей выглядят как

Формула 11 (11)

где k=mc/2πh -- "волновое число", прямо пропорциональное массе, Kν -- модифицированная функция Бесселя 2-го рода (так называемая функция Макдональда). Первое решение, по форме совпадающее с известным потенциалом Юкавы, соответствует спину 0, а два последующих -- спину 1/2. Спин возникает в задаче как характеристика еще одного независимого поля движения σ (θ,φ) в сферической системе координат -- поля вращения. Независимые поля u и σ входят в состав Φ как парциальные:

Формула 11' (11')

При разделении переменных для каждого из полей -- радиального и углового -- получается свое уравнение, но они оказываются связанными постоянной разделения.

  Спин

Отдельного повествования заслуживает описание спина в КТПД. Как и следовало ожидать, за этот собственный момент импульса несет ответственность отдельное парциальное поле движения, имеющее геометрию и динамику, свойственные вращению. Никакого формального различия в описании орбитального углового момента или собственного (т.е. спина) нет. Различие появляется только в последний момент, когда подставляется величина необходимого углового момента. В зависимости от целого или полуцелого значения у ВФ могут быть свои особенности.

А получается все так. В операторе Лапласа ∆, являющемся частью оператора д'Аламбера, в сферических координатах можно условно выделить угловую часть ∆θ,φ (оператор Бельтрами-Лапласа). При разделении переменных благодаря ей получается уравнение для вращательного поля χ:

Формула 12 (12)

где M -- значение углового момента поля. Это уравнение имеет общее решение

Формула 13 (13)

где ap , aq -- постоянные множители, Pν μ, Qνμ -- присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода соответственно. Индексы ν и μ при этом равны безразмерным квантовым числам величины углового момента и его проекции на ось z. Они могут пробегать только целочисленные или полуцелые значения, что обусловлено физическими причинами: в противном случае наблюдаемые величины, которые должны вычисляться через χ, получаются неоднозначными. Заметим, что при целых ν, μ функция Qνμ не определена, поэтому для них решения компонуются только на базе Pνμ. Это всем известные сферические гармоники. При полуцелых квантовых числах углового момента вступают в работу обе присоединенные функции Лежандра, но не всегда одновременно. В каждом отдельном случае надо смотреть справочник по математике. Нет нужды напоминать, что решения с полуцелыми значениями углового момента подходят только для описания спина, т.к. из опыта известно, что орбитальное движение электрона всегда характеризуется только целочисленными квантовыми числами l, lz= m.

В книге принято правило: поля собственного вращения, соответствующего спину, обозначаются символом σ. Вообще говоря, уравнение (12) имеет физически адекватные решения при любом целом или полуцелом квантовом числе углового момента ν=s. Более того, количество решений больше количества отдельных s, поскольку оно увеличивается за счет квантового числа μ=sz проекции на выделенное направление. Каждому s соответствует 2s+1 проекций, среди которых есть как с положительным, так и с отрицательным знаком. Для важного случая s=1/2 имеется следующий набор собственных функций:

Формула 13' (13')

Функции из первой строки соответствуют спину, направленному вверх, а из второй -- направленному вниз. В первом столбце стоят пространственно нечетные ВФ, а во втором -- четные.

Такова в общих чертах теория для поля движения, обладающего обычной (вещественной) плотностью импульса. Как отмечалось выше, квадратично интегрируемых решений, соответствующих отдельной частице с полуцелым спином, при этом не существует. Однако в КТПД вводятся в употребление поля движения с мнимой плотностью импульса. Казалось бы, в них момент импульса также должен стать мнимым, поскольку он определяется через векторное произведение координат на импульс. Тем не менее, если поставить условие M  2  > 0, оговаривающее вещественность момента импульса, то и при нем у уравнения

Формула 14 (14)

.


в которое превращается (12), остается "лазейка", благодаря которой решение существует! Примечательно, что это может происходить всего при одном ненулевом значении спина, которое равно 1/2. Как мы знаем, все элементарные фермионы (лептоны, кварки) имеют именно такой спин. Это совпадение с данными опыта укрепляет уверенность в том, что мы на правильном пути. Но это не все, есть еще одна корреляция с реальной наблюдаемой картиной. В случае s=1/2 поле спинового движения в зависимости от знака z-проекции спина имеет разный вид. С точностью до постоянных множителей оно выглядит как

Формула 15 (15)

Из (15) следует, что при смене знака проекции спина меняется геометрия поля и его пространственная четность. Как известно, еще в 1957 г. знаменитыми опытами Ву Цзяньсюн было открыто нарушение P-четности при бета-распаде. Вылетание электронов из ядра кобальта-60 оказалось несимметричным по отношению к ориентации спина ядра. Такие отдельные факты отсутствия симметрии в эксперименте не замедлили сказаться на ее остутствии и в теории. В настоящее время в Стандартной модели проводится различие между лептонами с левой и правой поляризацией, объединение их в различные мультиплеты. Не стоит ли за всем этим поле вращательного движения, не сохраняющее своего вида при смене ориентации спина, т.е., в конечном итоге, полученные выражения (15) для σ+ , σ-?

  Интерференция радиальных полей движения

Одним из наиболее важных феноменов, рассматриваемых КТПД, является интерференция полей движения. Физически она возникает благодаря сосуществованию в одной и той же произвольной точке пространства нескольких полей одновременно. Помимо индивидуального эффекта от каждого поля в отдельности, в этой точке будет проявляться также их совместный эффект. Ответственность за него несут те члены уравнения, которые представляют собой скалярное произведение градиентов двух различных полей. Так, уравнение КГФ, записанное для общего поля движения Ψ=ψ Φ, в развернутом виде выглядит следующим образом:

Формула 16 (16)

Третий член, содержащий удвоенное скалярное произведение 4-градиентов двух произвольных парциальных полей ψ и Φ, является интерференционным. В зависимости от того, какие именно движения описывают ψ и Φ, интерференция выглядит как взаимодействие того или иного вида. Например, если поля ψ и Φ зависят от углов и определяют вращения, то в случае третьего слагаемого в (16) мы имеем дело со спин-орбитальным или спин-спиновым взаимодействием.

Форма уравнения КГФ, как мы теперь знаем, не является достаточно полной. Его последний член с m2c2 на самом деле скрывает в себе поле движения, обладающее мнимой плотностью импульса, как это было с полем Φ в (10). В уравнении КГФ мы видим только некоторую константу, собственное значение оператора квадрата импульса этого поля. То, что радиальное поле u не присутствует в (16) явно, ничего не значит: вы можете умножить все уравнение на u, тогда оно будет содержать его. Но поскольку правая часть тождественно равна 0, такое действие не даст ничего нового. С точки зрения математической краткости целесообразно будет снова сократить на u. Вот таким образом радиальное поле движения оказывается скрытым в уравнении КГФ. Чтобы иметь его не в скрытом, а в явном "активном" виде (когда оно стоит при операторе, а не при его собственном значении), надо воспользоваться универсальным уравнением динамики (9).

Как и любые другие поля движения, радиальные поля также способны интерферировать. Изучение этого явления занимает особое место в КТПД в силу значительных эффектов, к которым эта интерференция приводит. Оно и понятно: радиальные поля с мнимой плотностью импульса самые "энергетически емкие", это именно им сопоставляется энергия mc2 . Рассмотрим простейший случай интерференции двух сферически симметричных полей радиальных колебаний Φ1 и Φ 2 одного из тех видов, что приведены в (11). Для этого нам придется обратиться к задаче о поле движения Ψ, содержащем в своем составе два радиальных поля движения. На привычном языке это означает задачу с волновой функцией двух частиц, имеющих индивидуальные массы. Общее поле движения можно представить в виде

Формула 17 (17)

где ψ1, ψ2 -- парциальные поля прочих движений (с вещественной плотностью импульса). Очевидно, что если мы подставим такое поле Ψ в единое уравнение (9), то среди прочих слагаемых будет

Формула 18 (18)

Согласно общей идеологии КТПД, оно описывает интерференцию радиальных полей движения Φ1, Φ 2. Это слагаемое мы и собираемся рассматривать в этом разделе. Прежде всего, от не имеющих отношения к данному вопросу полей ψ1 , ψ2 можно избавиться разделением переменных, поэтому мы их опускаем. Далее, если выразить производные по первоначальным координатам уравнения (9) через производные по координатам, взятым в собственных системах отсчета полей Φ1 и Φ2 , то получим

Формула 19 (19)

Здесь λαν -- матрица преобразования, равная произведению двух лоренцевых матриц, каждая из которых отвечает за переход между "своей" собственной системой отсчета и "первоначальной" системой. "Индексы в скобках" при производных обозначают принадлежность координат к собственным системам 1-го и 2-го поля (собственной системой отсчета называется система, в которой объект покоится, будучи совмещен своим центром масс с ее началом. Иногда совмещения центров не требуют, считая неподвижность достаточным условием). При небольших относительных скоростях систем отсчета (по сравнению со скоростью света) матрица λαν приблизительно равна единичной матрице, и тогда получаем

Формула 20 (20)

При возрастании скоростей матрица изменяется, "генерируя" релятивистские эффекты. В этом случае приближением (20) пользоваться нельзя, его должно заменять точное соотношение (19).

"Скучные" выражения (19) и (20) здесь приведены не просто так. Из них выводится необходимость существования одного важного для уравнений КТПД фактора. Он возникает следующим образом. Обычно в уравнении принято записывать производные в одной системе координат. Следовательно, в (19) или (20) надо определиться, в какой именно системе -- (1) или (2) -- записывать производные, а потом выполнить соответствующий переход. При работе с полями, зависящими только от времени, это ничего особенного не дает. Но в случае полей, зависящих от пространственных координат (речь идет о собственных системах отсчета!), возникает динамический фактор градиента, равный отношению масс полей Φ1 и Φ 2 со знаком минус. Так, в нерелятивистском приближении получаем

Формула 21 (21)

Поскольку скалярное произведение векторов, взятых в одной системе координат, является инвариантом, то "индексы в скобках" можно опустить. Это выражение будет выглядеть одинаково в любой системе координат:

Формула 22 (22)

У динамического фактора градиента есть одна особенность. Если массы полей не равны, его модуль всегда больше 1. Это означает, что в знаменателе всегда оказывается меньшая масса из двух.

Теперь, наконец, можно заняться изучением самого поля интерференции, как названо в книге скалярное произведение градиентов

Формула 23 (23)

(штрихи для краткости опускаем, раз скалярное произведение инвариантно). Особый интерес представляет его поведение в случае полей

Формула 24 (24)

или

Формула 25 (25)

где первая пара соответствует полям со спином 1/2, а вторая -- бесспиновым. Следует оговориться, что изучение локального поведения поля интерференции не особенно актуально, оно может представлять разве что академический интерес. С точки же зрения наблюдаемых гораздо более важной является интегральная величина, которая в книге названа профилем интерференции (или совместным профилем, сопрофилем):

Формула 26 (26)

Здесь под r12 подразумевается расстояние между центрами масс полей Φ1 и Φ2. Интеграл в знаменателе служит в качестве нормировки всего выражения. На долю функции V выпали сразу две роли, одна из которых связана с взаимодействием, другая -- с массой. Первая роль вытекает из определения (интерференция), а вторая возникает спонтанно благодаря значению V (r 12).

Поведение профиля интерференции для полей (24) было исследовано численными методами, а для полей (25) -- аналитически. Во втором случае было установлено соотношение

Формула 27 (27)

где переменная часть

Формула 28 (28)

Здесь k1=m1 c/2πh, k2=m2 c/2πh -- волновые числа полей, причем подразумевается, что меньшей является масса первого поля. При равных массах выражение (28) имеет предел

Формула 29 (29)

Результаты, полученные численно для поля, сопряженного со спином, свидетельствуют о таком же поведении (в главных чертах) его совместного профиля. На рис.1 приведены графики для четырех различных комбинаций волновых чисел:

k1 k2
0.5 0.25
1.0 0.25
1.0 0.5
2.0 0.5
Асимптоты интегралов V(r12)

Рис.1

Легко видеть, что некоторые кривые с ростом r 12 сливаются. Это объясняется тем, что при увеличении расстояния между центрами полей переменная часть (28) стремится к нулю, а асимптота определяется квадратом меньшего волнового числа, т.е. -kmin2. Поэтому для всех пар Φ1, Φ2 , для которых меньшая масса не меняется, наблюдается постепенный выход на одну и ту же асимптоту, которую эта масса, собственно, и определяет. Так, для kmin=0.25 асимптота имеет ординату -0.0625, а для kmin =0.5 ордината асимптоты равна -0.25. Такая особенность поведения тесно связана с общей массой системы полей. Как это происходит, рассмотрим на примере.

Пусть общее поле движения Ψ состоит из двух полей движения с массами m1 и m2, причем масса первого поля меньше. Массу общего поля обозначим m. Чему она равна, мы пока не знаем. Из единого уравнения динамики (9) после разделения переменных (отделения не интересующих нас в этом примере других полей) следует:

Формула 30 (30)

С учетом (10) и (22) получаем

Формула 31 (31)

В третьем слагаемом заменим скалярное произведение градиентов (поле интерференции) его усредненным значением (26), т.е. совместным профилем V. Если в рамках задачи центры масс полей Φ1, Φ2 находятся между собой на расстояниях, намного превышающих их комптоновские длины волн, то переменной частью в (27) можно пренебречь. Получаем

Формула 32 (32)

или, что то же самое,

Формула 33 (33)

Отсюда явственно видно, что

Формула 34 (34)

Получился общеизвестный результат: при отсутствии взаимодействия масса системы полей равна сумме их масс. Этот закон, найденный для двух парциальных массивных полей, без труда можно расширить на какое угодно количество полей в системе.

( Читать дальше )




В начало страницы   Картинки   Страницы:   Главная (0)   1   2   

.